集合その2

1．集合の和

　・2つの集合A,Bの和は、AかBに含まれる、あるいは、
　　その両方に含まれるすべての要素からなる集合

　・A∪Bと表す

　・次のように表現される

　A∪B = { x | x ∈A または y ∈ B}

2．和集合の性質

　(1)A∪Φ = A

　(2)A∪B = B∪A

　(3)A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

　(4)A∪A = A

　(5)A∪B = B であり、かつそのときに限り、 A⊆B

3.集合の積

　・2つの集合AとBの積とは、AとBの両方に含まれる要素すべてからなる集合

　・A∩Bと記される

　・次のように表現される 　A∩B = { x | x ∈A かつ y ∈ B}

　・A∩B =　Φの場合、AとBは、互いに素である。という

4.積集合の性質

　(1)A∩Φ = Φ

　(2)A∩B = B∩A

　(3)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

　(4)A∩A = A

5.差集合

　・AとBの差集合とは、Aの要素でBに含まれないものの集合

　・A - Bと表現される

　・A - B={x | x∈A かつ x "B }と定義できる

　・A = { a, b,c }で、B = { c,d }とすると、A - B =　{a,b}となる

6.補集合

　・すべての集合が、その部分集合となる集合を、全体集合という

　・全体集合を　U　とすると、差 U - A　を、Aの補集合といい、A′と記す

7.ﾄﾞモルガンの法則

　・（A　U　B)′　=　A′∩　B′

　・（A ∩　B)′　= A′U B′

8.集合の濃度

　・集合の濃度とは、要素の数のこと

　・Sを集合とすると、｜S｜で表す

　・S={a,b,c}とすると、｜S｜=3 となる

集合

１．集合とは

　集合とは、要素と呼ばれるものの集まり

　Sが集合で、xがSの要素であるときは、x∈Sと書く

2.集合の表現

　要素 x, y,zからなる集合Sは、次のように表現する

　S={x, y,z}

　要素のない集合は、空集合とよばれ、Φで表される

3.集合の性質

　要素は重複しない

　要素に特定の順序はない

4．部分集合

　AとBが集合であり、Aのすべての要素がBの要素であるとき、AはBの部分集合であるという

　部分集合は、A⊆Bで表す

5．べき集合

　集合Sのすべての部分集合のあつまりを、Sのべき集合という

　たとえば、S={a,b}とすると、Sのべき集合は、

　Power(S)={Φ,{a},{b},{a,b}}

　
    となる

自己相似性(フラクタル)

物体の細部と全体構造が相似であること

数学:フェルマーの最終定理

3以上の整数nに対して、

x ⁿ+yⁿ=zⁿ

を満たす、自然数の組x, y, zは存在しない

1995年イギリスのワイルズによって証明された

対偶

・「AであればBである」の対偶は、BでなければAでない。

・元の条件文と対偶は同じ真理値となる。

・よって、対偶を証明すれば、元の条件文を証明したことになる。